INECUACIONES

En estas expresiones se utilizan signos como ≤, > , ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones.

La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.

Las  siguientes  expresiones  x² + 2x < 15   y   x²  ≥  2x + 3  representan inecuaciones  cuadráticas. 

Una  inecuación  cuadrática  es   de   la forma ax² + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La  inecuación cuadrática está en su forma estándarcuando el número cero está a un lado de la inecuación.  De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones    anteriormente   mencionadas     sería:    x² + 2x – 15 < 0     y    x² – 2x – 3 ≥  0. 

 Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.

A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

1. Escribe la inecuación en forma estándar.
2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos.  Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica.  Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.
4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación.  El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.
5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.

Ejemplos para discusión:  Halla la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas y representarla en la recta numérica.

1)  x² – 2x > 3

2)  6x² + 7x ≤ 3

Ejercicio de práctica:  Halla la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas y representarla en la recta numérica.

1)  x² – 2x – 8 < 0

2)  x²  + 5x  - 6 ≥ 0

3)  x² – 7x  ≤  -6

Veamos un ejemplo:

En la inecuación 2x + 1 > 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta?

Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo: 

                                                 Para x = 1:           2 · 1 + 1 = 3 < 9
                                                 Para x = 2:           2 · 2 + 1 = 5 < 9
                                                 Para x = 3:           2 · 3 + 1 = 7 < 9
                                                 Para x = 4:           2 · 4 + 1 = 9
                                                 Para x = 5:           2 · 5 + 1 = 11>9

 Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4. La solución es x > 4. 

 Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro.  Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3  y  -3 < -1 para señalar que -3 es menor que -1.  Estos ejemplos se conocen como desigualdades.  

 Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades

.